數學思考

第一章¶

特殊化：用例子來了解問題

有系統的特殊化：

最小的四位回文數是什麼？1001
次小的呢？1111
一個回文數如何變成另一個？1001 + 110 = 1111

自己寫筆記¶

紀錄自己的經驗，使它們不會遺失，且能便於稍候的分析和研讀。紀錄經驗同時也幫助你注意那些經驗，且能增進你的數學思考力。

記錄三件事：

解題過程中，你所想到的各個重要點子
你想做怎樣的嘗試？
你對它有什麼感覺？

總結以上三點，自己的經驗是**任何念頭和想法都先寫下來。清空腦袋，才有餘力思考**。事後反思會發現，看似不起眼的一句，常常是解題關鍵。寫下來就不會去想「剛剛好像想到什麼？」後悔沒寫下來。寫下來就不需要耗費腦力記憶它，看著這些想法，然後分析思考它

不要因為有大量的東西要記而放棄。一開始會很懶，覺得真的有必要任何想法都先寫下來嗎？但是寫了一句，就能寫第二句。而且慢慢發現筆記很有用，就會寫下去

特殊化的功用有：

輕易地獲得對問題的感覺
有系統地為一般化打好基礎
檢驗一般化的結果：寫下規則後，可以用你認為不太可能成功的方法進行嚴苛的考驗

使用**要點字**幫助你寫出有用的筆記

STUCK

你發現自己卡住了，寫下 STUCK。寫下為什麼卡住了，可以幫助你繼續進行下去，例如：

STUCK，我不了解某某某是什麼
STUCK，我不知道該怎麼做才能找到規則
STUCK，我不知道該如何...
STUCK，我不知道為什麼...
STUCK，我不知道接下來要怎麼辦

AHA!

不論何時，當你想到一個點子或你認為發現了什麼，把它們記下來。例如：

AHA!試試看如果那樣的話會怎樣呢？
AHA!可能...
AHA!但是為什麼...

CHECK

立刻檢查任何計算或推理
利用幾個例子檢查你所發現的「法則」（特殊化）
檢查你的解法是否能解決原命題

REFLECT

題目解的差不多了，不管有沒有成功解答，花一點時間反思 REFLECT 發生過什麼事。它可以幫助你在幾天後鮮明且有效率地回想你做了什麼，反思過程中，困難也常常被解決。所以不需要全部做完才反思，可以解題到一半休息時反思

發生過什麼事
寫下重要的想法
寫下你記憶中引人注目的時刻
確實地仔細思考你在這一題中學到了什麼

第二章¶

大部分的人無法適切地解題，正是因為對「進入」和「回顧」不夠重視

解題分成三個階段：進入、攻擊、回顧 (Entry, Attack, Review)

進入¶

確實詳讀題目，圈起關鍵處，進而特殊化，以回答以下三個問題，回答的次序並不重要：

已知：題目給我什麼資訊？
所求：最後的目的是什麼？
引入：使用什麼符號紀錄特殊化的結果

特殊化的結果必須排列整齊，方便後續查看。可以在反思階段重新抄寫一遍，會整齊很多

攻擊¶

回顧¶

重新抄寫混亂的筆記，變成整齊扼要的說明，讓人很容易了解整個過程，對於增進數學思考能力是很有幫助的。（以下的 1 和 2）

**檢查 Check**解答
**反思 Reflect**關鍵想法與關鍵時刻
**推廣 Extend**到更一般的情況

第三章¶

如果你

看著答案紙、題目或望著天花板發呆
抗拒計算或其他動作
無法繼續進行而漸漸緊張甚至恐慌
不知從何下手而感到灰心

表示你卡住了。寫下 STUCK，承認你卡住了。如果你想稍微休息一下，記得要先盡可能記下是什麼阻礙了你，以免回來時忘記了！

第四章¶

攻擊的主幹：猜想

題目「連續數字和」筆記最後的回顧：

有系統地特殊化（整齊排好很重要！）
仔細觀察筆記，有耐心地寫下想法，想到什麼就寫下來（STUCK and MURMUR）
寫下猜想
檢查猜想 ==> 回到第一步（CHECK）

MURMUR：AHA! 對我來說是「想到解題的關鍵」，但是數學思考書中的意思則是「想到什麼就寫什麼」，我覺得改成 MURMUR 比較貼切